حل کار درکلاس صفحه 103 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 103 - تمرین 1 این تمرین بر اساس قانونی است که در فعالیت قبلی کشف کردیم: **قانون توانِ توان**. یادت باشد که برای محاسبه $(a^n)^m$، کافی است **توان‌ها را در هم ضرب کنیم** و پایه را ثابت نگه داریم: $(a^n)^m = a^{n \times m}$. --- 1. **$(5^2)^4$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $2 \times 4 = 8$. * **جواب: $5^8$** 2. **$[ (\frac{2}{3})^2 ]^3$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $2 \times 3 = 6$. * **جواب: $(\frac{2}{3})^6$** 3. **$[ (-6)^2 ]^5$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $2 \times 5 = 10$. * **جواب: $(-6)^{10}$** * (نکته: چون توان نهایی ۱۰ زوج است، می‌توان آن را به صورت $6^{10}$ هم نوشت، اما به صورت $(-6)^{10}$ هم صحیح است.) 4. **$[ (-\frac{1}{y})^3 ]^4$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $3 \times 4 = 12$. * **جواب: $(-\frac{1}{y})^{12}$** * (نکته: چون توان نهایی ۱۲ زوج است، علامت منفی از بین می‌رود و می‌توان نوشت: $(\frac{1}{y})^{12}$.) 5. **$(18^7)^2$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $7 \times 2 = 14$. * **جواب: $18^{14}$** 6. **$(x^4)^8$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $4 \times 8 = 32$. * **جواب: $x^{32}$** 7. **$[ (ab)^2 ]^3$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $2 \times 3 = 6$. * **جواب: $(ab)^6$** * (اگر بخواهیم آن را بیشتر باز کنیم: $a^6 b^6$) 8. **$(xy)^t$** * در اینجا، توان عبارت $(xy)$ برابر $t$ است. این یک قانون توان نیست، بلکه تعریفی از توان است که بر اساس آن توان بر روی پایه‌های ضرب شده توزیع می‌شود (قانون توان ضرب): $(xy)^t = x^t y^t$. * اگر منظور طراح، یک قانون توانِ توان بود (مانند $(xy^a)^b$)، سوال باید به گونه دیگری نوشته می‌شد. طبق صورت موجود، بهترین پاسخ ساده‌سازی آن با قانون توان ضرب است. * **جواب: $x^t y^t$** 9. **$(2^m)^n$** * توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $m \times n = mn$. * **جواب: $2^{mn}$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 2 برای تعیین درستی یا نادرستی هر تساوی، باید از قوانین مربوط به توان‌ها استفاده کنیم و دلیل آن را توضیح دهیم: --- 1. **$(3 \times 2)^4 = 3^4 \times 3^4$** * **نادرست.** * **توضیح:** طبق قانون توان ضرب، توان باید بر روی تمام عامل‌های داخل پرانتز اثر کند، پس: $(3 \times 2)^4 = 3^4 \times 2^4$. * سمت راست تساوی برابر است با: $3^4 \times 3^4 = 3^{4+4} = 3^8$ (قانون ضرب با پایه‌های مساوی). 2. **$3^5 \times 3^5 = (3^5)^2$** * **درست.** * **توضیح:** سمت چپ (تکرار ضرب) معادل سمت راست (توان) است. همچنین طبق قانون ضرب با پایه‌های مساوی: $3^5 \times 3^5 = 3^{5+5} = 3^{10}$. و طبق قانون توانِ توان: $(3^5)^2 = 3^{5 \times 2} = 3^{10}$. پس تساوی درست است. 3. **$(3^2)^4 = 3^8$** * **درست.** * **توضیح:** طبق قانون توانِ توان، توان‌ها در هم ضرب می‌شوند: $2 \times 4 = 8$. 4. **$(3^0)^2 = 3^2$** * **نادرست.** * **توضیح:** طبق قانون توانِ توان: $(3^0)^2 = 3^{0 \times 2} = 3^0$. همچنین $3^0 = 1$ و $3^2 = 9$. چون $1 \ne 9$، تساوی نادرست است. 5. **$(5^3)^3 = 5^9$** * **درست.** * **توضیح:** طبق قانون توانِ توان، توان‌ها در هم ضرب می‌شوند: $3 \times 3 = 9$. 6. **$3^4 \times 3^2 = 9^4$** * **نادرست.** * **توضیح:** سمت چپ طبق قانون ضرب با پایه‌های مساوی برابر است با: $3^{4+2} = 3^6$. سمت راست برابر است با: $9^4 = (3^2)^4 = 3^8$. چون $3^6 \ne 3^8$، تساوی نادرست است. 7. **$3^5 \times (2^2)^5 = 12^5$** * **نادرست.** * **توضیح:** ابتدا $(2^2)^5$ را ساده می‌کنیم: $(2^2)^5 = 2^{10}$. * عبارت سمت چپ می‌شود: $3^5 \times 2^{10}$. * اگر می‌خواستیم $12^5$ به دست آید، باید $3^5 \times 4^5$ می‌داشتیم. چون $2^{10} = (2^2)^5 = 4^5$. * پس $3^5 \times 2^{10} = 3^5 \times 4^5 = (3 \times 4)^5 = 12^5$. * **در این حالت، تساوی درست است. احتمالاً منظور این بوده که $(2^2)^5 = 2^{10}$ و به اشتباه با $2^5$ مقایسه شود، اما با تحلیل دقیق، $3^5 \times (2^2)^5 = 3^5 \times 4^5 = 12^5$.** (با فرض اینکه طراح قصد داشته از قانون توان ضرب و توانِ توان به درستی استفاده شود، **درست** در نظر گرفته می‌شود.) 8. **$a^2 \cdot a^0 = 1$** * **نادرست.** * **توضیح:** طبق قانون توان صفر، $a^0 = 1$. پس $a^2 \cdot a^0 = a^2 \times 1 = a^2$. این تساوی فقط زمانی درست است که $a^2 = 1$ باشد (یعنی $a=1$ یا $a=-1$). در حالت کلی نادرست است. 9. **$((-2)^2)^3 = 2^6$** * **درست.** * **توضیح:** طبق قانون توانِ توان: $((-2)^2)^3 = (-2)^{2 \times 3} = (-2)^6$. چون توان ۶ زوج است، علامت منفی از بین می‌رود: $(-2)^6 = 2^6$. 10. **$(-4^2)^4 = 4^4$** * **نادرست.** * **توضیح:** توجه کنید که در $(-4^2)^4$، توان ۲ فقط برای عدد ۴ است، نه برای علامت منفی. پس $4^2 = 16$. * سمت چپ می‌شود: $(-16)^4$. چون توان ۴ زوج است، $(-16)^4 = 16^4 = (4^2)^4 = 4^8$. * چون $4^8 \ne 4^4$، تساوی نادرست است. (اگر عبارت $(-4)^2$ بود، تساوی درست می‌شد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 3 برای حل این سوال، باید ابتدا عبارت را ساده کنیم. ### گام ۱: استفاده از قانون توانِ توان ابتدا قسمت $[(-5)^3]^3$ را ساده می‌کنیم. طبق قانون توانِ توان، توان‌ها در هم ضرب می‌شوند: $3 \times 3 = 9$. $$[(-5)^3]^3 = (-5)^9$$ ### گام ۲: بازنویسی عبارت اصلی حالا عبارت اصلی به شکل زیر ساده می‌شود: $$\mathbf{(-5)^2 \times (-5)^9}$$ (توجه: در صورت سوال به نظر می‌رسد عبارت به شکل $2^2 \times [(-5)^3]^3 \times (-5)^2$ نوشته شده است. اگر $2^2$ در ابتدا اضافه باشد، باید آن را در محاسبه نگه داریم. با فرض اینکه $2^2$ اشتباه تایپی بوده یا منظور آن $5^2$ نبوده، و سوال صرفاً در مورد عبارت‌های پایه $-5$ است، آن را نادیده می‌گیریم تا با گزینه‌های الف و ب مطابقت داشته باشد. اگر $2^2$ وجود دارد، پاسخ نهایی به صورت $4 \times (-5)^{11}$ خواهد بود که هیچ یک از گزینه‌ها نیست. بنابراین، فرض می‌کنیم عبارت اصلی باید: $\mathbf{[(-5)^3]^3 \times (-5)^2}$ باشد.) ### گام ۳: استفاده از قانون ضرب با پایه‌های مساوی پایه‌ها مساوی $(-5)$ هستند، پس توان‌ها را جمع می‌کنیم: $$(-5)^2 \times (-5)^9 = (-5)^{2+9} = (-5)^{11}$$ ### گام ۴: مقایسه با گزینه‌ها حاصل عبارت $(-5)^{11}$ است. حال تفاوت بین گزینه‌های الف و ب را بررسی می‌کنیم: * **الف) $(-5)^{11}$:** یعنی عدد $-5$ یازده بار در خودش ضرب شده است. چون توان (۱۱) فرد است، نتیجه نهایی **منفی** خواهد بود. * **ب) $-5^{11}$:** یعنی ابتدا $5$ یازده بار در خودش ضرب شده ($5^{11}$ که یک عدد مثبت است) و سپس در یک منفی ضرب شده است. نتیجه نهایی **منفی** خواهد بود. به طور کلی، $(-5)^{11} = -5^{11}$ (زیرا توان ۱۱ فرد است). هر دو گزینه از نظر عددی برابر هستند، اما شکل استاندارد برای پاسخ‌های توان‌دار، نگه داشتن پایه اصلی (در اینجا $-5$) است. **پاسخ درست: الف) $(-5)^{11}$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 4 این تمرین تلفیقی از نوشتن عدد به صورت توان‌دار و استفاده از **قانون توانِ توان** است. ### گام ۱: تبدیل پایه ۹ به پایه ۳ عدد ۹ را به صورت یک توان از پایه ۳ می‌نویسیم: $$9 = 3^2$$ ### گام ۲: پر کردن جای خالی اول حالا $9^5$ را بازنویسی می‌کنیم: $$9^5 = (3^2)^5$$ * **جای خالی اول: $2$** ### گام ۳: استفاده از قانون توانِ توان از قانون $(a^n)^m = a^{nm}$ استفاده می‌کنیم و توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $2 \times 5 = 10$. $$(3^2)^5 = 3^{10}$$ * **جای خالی دوم: $10$** **پاسخ نهایی: $9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$**